Also es geht um die Frage, welche Größen eignen sich als

Minimalkoordinaten und welche tun das nicht. Und das hatten wir uns an dem Bild hier drüben

angeschaut. So, wenn wir zum Beispiel so einen Doppelpendel hier haben, dann haben wir hier

verschiedene Gelenkwinkel entweder absolut zur vertikalen gemessen oder relativ zur Orientierung

von dem Stab davor. Und das sind zulässige Minimalkoordinaten, denn jeweils diese zwei

Informationen zusammen sagen uns genau, wie das System gerade im Raum liegt. Und hier drüben

waren Beispiele für andere Minimalkoordinaten, die eben keine eindeutige Lagebeschreibung

erlauben. Also wenn man hier einfach Abstand des Endpunkts zum Aufhängepunkt hier oben in

vertikaler Richtung anguckt, dann wäre es eben keine eindeutige Beschreibung für das System.

Und genauso nur die Lage des Gelenks sagt uns ja nichts über das aus, wie der zweite Körper hier

außen hier unten hängt. Gut. Okay, also wir brauchen Minimalkoordinaten, die das System eindeutig beschreiben. Gut, so und jetzt gehen wir mal weiter und schauen uns im

Verlauf der heutigen Vorlesungsstunde so einen Zusammenhang zwischen den redundanten Lagekoordinaten

und Minimalkoordinaten an. Zunächst mal müssen wir aber die sogenannten impliziten holonomen

Bindungen ein bisschen genauer anschauen. Implizite holonome Bindungen. Da haben wir also wie gesagt

den Reonomen und den Skleronomen Fall. Also einfach dieses G von R gleich Null oder aber G von R und

explizit von der Zeit abhängend. Gleich Null. So. Das ist das ganze also auf der Lageebene und wenn

wir die jetzt nach der Zeit ableiten, dann kommen wir zu den impliziten Bindungen auf Geschwindigkeitsebene.

Also auf der Geschwindigkeitsebene haben wir zunächst mal, dass wir ja den Geschwindigkeitsvektor als Zeitableitung des Lagevektors

betrachten können. So, wenn wir jetzt eine Zeitableitung von dieser Reonomen Lagebindung bilden,

dann müssen wir ein bisschen rechnen. Also zunächst mal müssen wir ableiten die vectorwerte

gebindungsfunktion nach den Lagevektoren und dann mit der kettenregel Lagefunktion nach der Zeit ableiten.

Dann müssen wir aber auch noch für den fall dass wir hier tatsächlich eine explizite Zeitabhängigkeit

drin haben die bindungsfunktion partiell nach der zeit ableiten und das soll dann Null sein.

Wie sehen diese Terme genau aus? Naja, wenn wir sagen wir haben vectorwärtige Lage R und wir machen es uns jetzt mal einfach und sagen wir haben NP oder wie sagen die das hier?

Nicht dass ich ihnen jetzt eine falsche Zahl nehme. Ah ja, wir haben N Massenpunkte im System, also ein N. Dann ist das ja ein vectorwertiges R1 bis RN und die Dimension wäre 3N

Kreuz 1. Genauso haben wir diese Funktion für die Zwangsbedingungen, die würde von G1 bis Gb gehen,

jede einzelne von denen ist Galarwertig, das ist also insgesamt ein B Kreuz 1 Vektor. Dementsprechend ist das hier eine B Kreuz 3 N Matrix,

die wir hier sehen. Die nennen wir auch Groß G, die hängt ab von R und vielleicht auch explizit von der Zeit und die hat folgende Einträge,

also entweder schauen wir uns das so an, dass wir hier immer die gesamte Zwangsbedingungen haben, also abgeleitet nach den Lagekoordinaten R1 bis alle Zwangsbedingungen abgeleitet nach der Lage von dem Ntenmassenpunkt.

Dann ist das hier jeweils B Kreuz 3 und so weiter bis B Kreuz 3 und wenn wir das N mal hintereinander haben, haben wir halt B Kreuz 3 N.

Man kann es aber jetzt auch noch ganz ausführlich hinschreiben und ich finde eigentlich versteht man es dann am besten,

also wenn wir das wirklich mal als Matrix hinschreiben, dann geht es los mit der ersten Zwangsbedingung abgeleitet nach der Lage des ersten Massenpunkts bis erste Zwangsbedingungen abgeleitet nach der Lage des Ntenmassenpunkts.

Jedes dieser einzelnen Dinger da, das ist jetzt 1 Kreuz 3. Diese partielle Ableitung ist erst ableitet nach der X Koordinate, daneben schreiben Ableitungen von G1 nach R1y und daneben schreiben G1 nach R1z abgeleitet.

Und das machen wir dann bis zur Betenzwangsbedingung nach Rn.

Also das ist diese B Kreuz 3 N Matrix und das ist die B Kreuz 3 N dimensionale sogenannte Bindungsmatrix.

Das ist dieses Groß G. Man nennt sie auch Jakobimatrix der Zwangsbedingungen, weil sie nun mal eine Jakobimatrix ist, also diese vektorwertige Funktion mit vektorwertigem Argument wird halt abgeleitet.

Wenn wir den Skleronomenfall haben, dann wäre das ja auch schon alles.

Jetzt müssen wir uns noch ganz kurz angucken. Wir haben hier diese B Kreuz 3 N Matrix. Der Geschwindigkeitsvektor ist ja 3 N Kreuz 1, genauso wie der Lagevektor selber. Also kriegen wir hier dann Matrixvektor und B Kreuz 1 Vektor.

Das hier ist auch ein B Kreuz 1 Vektor, weil jeder dieser skalarwertigen Einträge von G wird nach der Zeit abgeleitet. Ist also auch eine skalarwertige Ableitung. Zusammen geben Sie den B Kreuz 1 Vektor und man kann es addieren.

Für den Teil dahinten, für die partielle Ableitung nach der Zeit, wird auch eine neue Bezeichnung eingeführt, nämlich so ein Gamma quer von R und T.

Was bedeutet das? Die Zwangsbedingungen sollen nicht nur selber erfüllt sein auf der Lageebene, sondern auch die Geschwindigkeiten, die in dem System vorkommen, sollen sich so verhalten, dass sie mit den Zwangsbedingungen konform sind.

Das heißt, alle R-Punkte, die in dem System vorkommen, müssen solche R-Punkte sein, die die Zeitableitung der Zwangsbedingungen erfüllen. Die erfüllen, dass Bindungsmatrix mal R-Punkt plus Gamma quer gleich Null ist.

Wie kann man sich das noch genauer vorstellen? Ich finde, am besten sieht man es immer an der Pendelbewegung.

Hier drüben bewegt sich das Ende von dem ersten Stab auf einer Kreisbahn. Die Geschwindigkeiten sind also immer tangential an den Kreis.

Die Geschwindigkeit kann nicht auf den Aufhängepunkt zu oder vom Aufhängepunkt weggehen, sondern nur tangential an den Kreis, weil sonst im nächsten Moment die Zwangsbedingungen nicht mehr erfüllt wären.

Deswegen war die Zwangsbedingung auf Lageebene, der Endpunkt bleibt auf dem Kreis. Die Zwangsbedingung auf Geschwindigkeitsebene heißt, die Geschwindigkeit ist tangential.

Sonst würde mit einer Geschwindigkeit, die das nicht erfüllt, die Zwangsbedingungen selber auf Lageebene auch nicht erfüllt bleiben.

Wenn wir uns jetzt kurz den Spezialfall für die Skleronomenbindungen anschauen.

Bei den Skleronomenbindungen gilt ja dann, dass dieses G-Punkt gerade nur die Windungsmatrix, die ja nur von R abhängt, mal V gleich Null darstellt.

Wenn wir uns das jetzt mal als Abbildung überlegen, dann heißt es ja, die Bindungsmatrix bildet V ab und das Bild ist Null.